Programmi dei corsi 2011/2012

Discretizzazione di problemi ellittici. Elementi di elaborazione e ricostruzione di immagini. Fattorizzazioni spettrali di matrici strutturate (Toeplitz, Hankel, circolanti). Metodi diretti per matrici sparse (cenni). Metodi iterativi per sistemi lineari: metodi di Richardson; metodo del gradiente. Metodi di Krylov: metodo del gradiente coniugato; algoritmo di Arnoldi e metodo GMRES; precondizionamento. Metodi di Newton inesatti per sistemi non lineari; metodo Newton-GMRES.

Anelli a condizione minimale. Lemma di Schur -Radicale. Anelli semplici. Teorema di Wedderburn. Algebre. Rappresentazioni delle algebre semisemplici. Algebra di un gruppo. Teorema di Maschke. Caratteri irriducibili. Tavole dei caratteri. Gruppi di Frobenius. Teorema di Burnside.

Spazi di Banach: teoria ed esempi notevoli. Teorema di Hahn-Banach ed Applicazioni. Spazi di Hilbert: teorema della proiezione ed applicazioni, sistemi ortonormali completi. Dualità, topologie deboli. Separabilità e riflessività. Studio delle topologie deboli degli spazi Lp. Spazi di Sobolev: derivate deboli e principali proprietà. Teoremi di immersione. Metodi variazionali per lo studio delle equazioni differenziali.

Calcolo delle probabilità (Prof. Alberto Gandolfi)

Riepilogo di teoria dell'integrazione. Spazi di probabilità. Speranze condizionali. Martingale. Catene di Markov. Moto Browniano.

La teoria elementare degli insiemi negli assiomi classici di Zermelo e Fraenkel. Costruzione degli insiemi N, Z, Q. Le formule risolutive per le equazioni algebriche di secondo, terzo e quarto grado. Caratterizzazione delle equazioni algebriche risolubili per radicali. Caratterizzazione dei numeri costruibili con riga e compasso. Costruzioni geometriche col piegamento della carta.

1) Numeri reali: storia; costruzioni; motivazioni; alcuni numeri particolari. Funzioni: Modelli applicati collegati alle varie funzioni. Limite e continuità. Difficoltà; esempi imporanti; applets. Derivata. storia; diversi modi di definirla; modelli; applets. Integrale. Definizione alla Riemann e alla Darboux; esempi; integrazione approssimata; modelli, applets.

2) Come si prepara una lezione, teoria e pratica.

Argomenti selezionati di geometria piana e nello spazio. Geometria euclidea e non euclidea. Aspetti storici, epistemologici e didattici. Parole-chiave nella didattica della matematica e della geometria in particolare.

Il principio di relatività di Einstein. Le trasformazioni di Lorentz. Equivalenza massa - energia. Elettrodinamica nel vuoto. La visione statistica della termodinamica. La teoria di Planck della radiazione termica. L'effetto fotoelettrico e l'effetto Compton. Il fotone come particella. Il modello atomico di Bohr. Dualismo onda-corpuscolo. Il principio di indeterminazione di Heisenberg.

Equazioni del prim'ordine: equazioni lineari e linee caratteristiche, equazioni quasilineari, equazioni completamente non lineari e coni di Monge; equazione di Burgers non viscosa, equazione iconale e ottica geometrica. Generalità sulle equazioni lineari del second'ordine in due variabili indipendenti: linee caratteristiche, classificazione, forme canoniche, equazioni variazionali. Equazione di D'Alembert: problemi con valori iniziali, movimento di corde vibranti, cenni sulle serie di Fourier. Equazione di Fourier o del calore: un problema con valori iniziali, evoluzione della temperatura in un ogetto monodimensionale, cenni sull'integrale di Fourier. Equazione di Laplace: alcune propretà generali delle funzioni armoniche, generalità sui problemi al contorno, cenni sul principio variazionale di Dirichlet, integrale di Poisson nel cerchi e nel semipiano.

- Il teorema fondamentale dell'esistenza/unicita' delle soluzioni delle equazioni differenziali ordinarie.
- Stabilita' e stabilita' asintotica di un equilibrio di un'equazione differenziale ordinaria. Stabilita' della linearizzata, il teorema di Perron. Criteri di Lyapunov per la stabilita'.
- Equazioni differenziali nel piano: soluzioni periodiche, cicli limite, la teoria di Poincaré-Bendixson.
- Sistemi dinamici: flussi, orbite, insiemi alfa- e omega- limite, attrattori e ripulsori, esempi.
- Biforcazione: la biforcazione nodo-sella, la biforcazione forca, la biforcazione transcritica, la biforcazione di Hopf, forme normali, varieta' invarianti e varieta' entrali, principio di riduzione.

Olomorfia, conformalità. Funzioni elementari. Teoria di Cauchy-Goursat. Serie di potenze, zeri, prolungamento analitico. Stime di Cauchy. Successioni di funzioni olomorfe. Liouville, applicazione aperta, massimo modulo, Lemma di Schwarz. Formule di Cauchy globali, omotopia. Serie di Laurent, singolarità, meromorfia. Residui, Principio dell'argomento, teoremi di Rouché, di Hurwitz e di Riemann. Cenni a funzioni armoniche, teoria di Runge, teoria geometrica delle funzioni, dinamica olomorfa.

Anelli commutativi; anelli noetheriani; il teorema della base di Hilbert. Insiemi algebrici affini e loro relazioni con gli ideali degli anelli di polinomi; il teorema degli zeri di Hilbert. Varieta' affini e morfismi. Sottovarieta'. Curve e superfici affini. Varieta' proiettive, morfismi e sottovarieta'.

Introduzione alla Logica di Ordine Superiore. Introduzione all'uso del sistema di dimostrazione interattiva HOL. Alcuni esempi di formalizzazione nel sistema HOL. Sviluppo di un progetto individuale di formalizzazione.

Il corso tratterà argomenti di base di geometria Riemanniana. In particolare verterà su varietà differenziabili, metriche Riemanniane, geodetiche, curvatura e teoremi correlati. Si studieranno poi concetti di base su varietà complesse e Kaehleriane e gruppi di Lie.

Sistemi per la gestione delle basi di dati. Modelli di dati. Modello relazionale. Algebra relazionale. Modello Entity Relationship. Progettazione di basi di dati. Sql. Microsoft Access. Forme normali delle basi di dati. Problemi di sicurezza in basi di dati. Cenni sulla gestione dell'affidabilità.

Generazione di gruppi; gruppi liberi e presentazioni,  prodotti liberi, grafi d Cayley, crescita  Teoria dei gruppi finiti: teoremi di Sylow, Hall, Schur-Zassenaus. p-gruppi; azioni coprime, azioni senza punti fissi; sottogruppi subnormali.

Il modello continuo, conservazione della massa, forze di contatto, leggi di bilancio, equazioni costitutive, fluidi ideali, newtoniani, visco-elastici, termodinamica, equilibrio di un fluido, gas perfetto e barotropico, vorticità nei fluidi ideali, moti irrotazionali, moti potenziali piani, stabilità lineare e non lineare, problemi agli autovalori, mezzi porosi. Casi studio: onde di gravità, sfruttamento di energia geotermica, trasporto in condotta di greggio ceroso. 

Varietà differenziabili. Spazio tangente. Applicazioni, immersioni e sottovarietà. Campi di vettori e fibrato tangente. Flussi locali e campi vettoriali. La parentesi di Poisson e la derivata di Lie. Fibrati. Teoremi di struttura. Operazioni sui fibrati. Prodotto tensore di fibrati vettoriali. Metriche su di un fibrato vettoriale. Varietà riemanniane. I fibrati delle forme differenziali su una varietà. Gruppi di Coomologia di deRham. Connessioni. Curvatura. La connessione di Levi-Civita.

Istruzioni fondamentali del linguaggio FORTRAN. Le librerie di sottoprogrammi. I principali metodi numerici per problemi di minimizzazione non lineari senza vincoli, sia di piccole dimensioni che di grandi dimensioni. Globalizzazione mediante line-search e trust region. Metodi non monotoni. Sperimentazione numerica: interpretazione e analisi dei risultati degli esperimenti e valutazione delle prestazioni di alcuni metodi di ottimizzazione. 

Cenni alla matematica di Egiziani, Babilonesi, Greci, Indiani e Arabi. Leonardo Fibonacci ed il Liber abaci. La trattatistica dell'abaco in Italia nel Medioevo e nel Primo Rinascimento. La figura e l'opera di Luca Pacioli. L'algebra in Italia nel Cinquecento: Dal Ferro, Tartaglia, Cardano, Ferrari, Bombelli. L'opera algebrica di Viète. 

Completezza della procedura di Davis-Putnam per la logica booleana. Il problema della decisione di Hilbert. Semantica herbrandiana e tarskiana. Skolemizzazione. Metodo refutazionale. Deduzioni valide e non valide. Teorema di completezza di Goedel. Teorema di Loewenheim, compattezza della logica dei predicati con eguaglianza.

Studio del moto nei formalismi lagrangiano e hamiltoniano. Geometria e cinematica nella varietà delle configurazioni lagrangiana. Dinamica: equazioni di Lagrange, esempi e campi di forze particolari. Moto geodetico. Equazioni di Hamilton nello spazio delle fasi. Proprietà geometriche. Approccio variazionale. Trasformazioni canoniche e teoria di Hamilton-Jacobi. Integrabilità.

Richiami su spazi di Banach, Hilbert e L^p. Serie di Fourier. Separazione delle variabili e problemi di Sturm-Liouville. Cenni sulle funzioni speciali. Armoniche sferiche.Trasformate di Fourier. Distribuzioni. Trasformata di Fourier di distribuzioni. Semigruppi con generatore limitato e cenni sul caso non-limitato. Sorgenti e perturbazioni. Esempi tratti da equazioni della fisica matematica.

Le principali strutture combinatorie. Relazioni di ricorrenza.  Funzioni generatrici: definizioni, funzioni generatrici ed equazioni di ricorrenza. Calcolo di funzioni generatrici. Stima dei coefficienti di una funzione generatrice. Metodologie di enumerazione. Teoria dei grafi: definizioni, classificazioni e proprietà. Problemi classici sui grafi. Approccio teorico ed algoritmico per la soluzione di alcuni problemi sui grafi.

Gli argomenti trattati saranno nozioni di base di Finanza Matematica (teoria delle opzioni, equazione di Black Scholes, principali titoli derivati) e una introduzione alla teoria delle equazioni differenziali stocastiche (Formula di Ito, martingale, esistenza ed unicità delle soluzioni di equazioni differenziali stocastiche sotto assunzione di Lipschizianeità dei coefficienti della equazione)

Equazioni alle differenze, stabilita' delle soluzioni, metodi lineari multistep per equazioni differenziali ordinarie. Funzioni di matrici, successioni di funzioni di matrici, matrici positive. Sistemi lineari. Sistemi nonlineari, linearizzazione, funzioni di Liapunov. Problemi conservativi. Il metodo delle linee, spettro di una famiglia di matrici, applicazione alle equazioni alle derivate parziali di tipo parabolico ed iperbolico. Applicazioni. 

Il corso evidenzia le potenzialità di un laboratorio di Fisica come strumento per differenti percorsi didattici (scuole medie inferiori, licei scientifici e istituti tecnici). Esperienze di ottica e di fisica dei fluidi che possono essere svolte con risorse sperimentali presenti in ogni scuola (lenti d'ingrandimento, lenti semplici e di occhiali, diodi-laser; acqua, olio, detersivi e simili) vengono presentate. Esempi di alcuni percorsi didattici che utilizzeranno le esperienze svolte in laboratorio. 

Il corso tratta la modellizzazione e l'analisi di alcune classi di problemi a frontiera libera per equazioni alle derivate parziali. Gli argomenti specifici che verranno trattati saranno definiti all'inizio dell'anno tenendo conto degli interessi e della preparazione di base di coloro che frequenteranno il corso. Potranno riguardare: problemi ellittici (elasticità, filtrazione nei mezzi porosi); problemi parabolici (cambiamento di fase, deposizione, combustione); problemi misti e degeneri. 

Definizione di problema inverso e mal posto. Descrizione ed analisi di alcuni problemi inversi che intervengono in vari settori di interesse applicativo e teorico: ad esempio in statica,geofisica,termodinamica, acustica, diagnostica medica. Trattazione matematica di problemi mal posti e metodi di risoluzione per problemi inversi: regolarizzazione, discretizzazione, decomposizione per valori singolari. La parte finale del corso sara' dedicata alla tomografia ad impedenza elettrica.

Sviluppo storico del calcolo fino al 1750. Cenni sullo sviluppo della matematica greca. Metodo di esaustione e opera di Archimede. Cenni sullo sviluppo della matematica araba e dell'arte analitica di Viete. La geometria analitica di Descartes e Fermat. Indivisibili di Cavalieri e tecniche infinitesimali. Metodi seicenteschi per costruire le tangenti. Il metodo delle flussioni di Newton. Calcolo di Leibniz. Cenni agli sviluppi dovuti a Bernoulli e Eulero. Introduzione del calcolo in Italia.

Algoritmi ricorsivi e relazioni di ricorrenza; Approccio "Divide et impera"; Algoritmi "greedy"; Programmazione dinamica; Algoritmi su stringhe; Algoritmi di approssimazione; Problemi indecidibili.

Campi di numeri. Anelli di interi. Discriminante di un campo di numeri. Ideali frazionari. Fattorizzazzione unica degli ideali in un anello di numeri. Gruppo delle classi. Teorema di Minkowski. Finitezza del gruppo delle classi. Teorema delle unità di Dirichlet. Primo Caso del teorema di Fermat per primi regolari. Funzioni L di Dirichlet. Funzione zeta di Riemann. Teorema di Dirichlet. 

Applicazioni lisce tra sottoinsiemi arbitrari degli spazi euclidei. Diffeomorfismi. Varietà differenziabili senza bordo. Spazio tangente. Fibrato tangente. Differenziale di un'applicazione tra varietà. Lemma di Sard. Varietà differenziabili con bordo. Grado modulo 2. Grado di Brouwer. Teorema di punto fisso di Brauwer. Esempio di Kakutani. Teorema di Schauder. Principio di continuazione. Applicazioni alle equazioni differenziali e integrali. Elementi di teoria della biforcazione.