Calcolo Differenziale ed integrale per funzioni reali di una variabile reale. Serie numeriche. Cenni sulle Equazioni differenziali
Contenuto del corso - Cognomi E-N
Calcolo differenziale e integrale di funzioni reali di una variabile reale. Serie numeriche. Cenni sulle equazioni differenziali ordinarie lineari.
Informazioni piu' dettagliate si trovano sulla pagina web http://poincare.dma.unifi.it/~stefani/didattica/1314.html
Contenuto del corso - Cognomi O-Z
Linguaggio delle proposizioni. Numeri reali. Funzioni di una variabile.
Successioni numeriche, il concetto di limite. Continuita'.
Derivate, rette tangenti. Il Teorema del valor medio; conseguenze. Problemi di massimo/minimo.
Formula di Taylor e applicazioni.
Integrale secondo Riemann, il Teorema fondamentale del calcolo. Calcolo degli integrali.
Integrali generalizzati. Serie numeriche.
Equazioni Differenziali Ordinarie (EDO). Esempi paradigmatici. EDO lineari del primo e secondo ordine.
Marco Bramanti, Carlo Domenico Pagani, Sandro Salsa,
Analisi matematica 1,
Ed. Zanichelli, Bologna, 2008.
Altri testi consigliati:
Mariano Giaquinta, Giuseppe Modica,
Note di Analisi Matematica. Funzioni di una variabile.
Pitagora Ed. Bologna, 2005.
Claudio Canuto, Anita Tabacco,
Analisi Matematica I (Teoria ed esercizi con complementi in Rete),
Terza edizione, Springer-Verlag Italia, 2008.
Michiel Bertsch, Roberta Dal Passo, Lorenzo Giacomelli,
Analisi Matematica,
McGraw-Hill, 2^ ed., 2011.
Obiettivi Formativi - Cognomi A-D
Formazione logica e scientifica sulla base dell'apprendimento dell'analisi matematica
Obiettivi Formativi - Cognomi E-N
1. Obbiettivi formativi:
Struttura del linguaggio matematico e ragionamento logico deduttivo.
2. Obbiettivi informativi:
Introdurre gli elementi del calcolo differenziale e integrale per funzioni reali di una variabile reale, con cenni alle serie numeriche e alle equazioni differenziali ordinarie.
Obiettivi Formativi - Cognomi O-Z
Con questo insegnamento ci prefiggiamo vari scopi.
1. Obbiettivi preminenti sul piano culturale e formativo:
-- Mostrare la struttura logica del discorso ed abituare gli studenti al necessario rigore nella discussione e verifica delle ipotesi, quale attitudine fondamentale per un corretta uso di risultati teorici, di modelli e di metodi di calcolo.
-- Far si' che gli studenti acquisiscano una chiara consapevolezza dei significati geometrici, fisici e numerici dei concetti fondamentali dell'analisi matematica; tale obbiettivo ha un ruolo essenziale ai fini della ricaduta dell'insegnamento in altri ambiti.
2. Su un piano piu' strumentale ci prefiggiamo di:
Introdurre gli elementi del calcolo differenziale e integrale per funzioni reali di una variabile reale (derivate e rette tangenti, problemi di minimo, integrali e aree, evoluzione temporale dello stato di un sistema). Questi sono di immediato utilizzo nello studio di discipline sia scientifiche -- in particolare, quelle a contenuto fisico -- che tecniche, e inoltre di preparazione al successivo insegnamento di Analisi Matematica II/Probabilita' e Statistica, il cui ruolo e' cruciale nell'acquisizione degli strumenti matematici necessari agli insegnamenti caratterizzanti il corso di studio (di I livello).
Prerequisiti - Cognomi A-D
buona conoscenza della matematica elementare: livello IV liceo scientifico.
Prerequisiti - Cognomi E-N
Programma degli obblighi formativi aggiuntivi
Prerequisiti - Cognomi O-Z
Temi e competenze acquisite nei corsi di Matematica della Scuola Media Superiore.
Metodi Didattici - Cognomi A-D
lezioni frontali, esercitazioni
Metodi Didattici - Cognomi E-N
Lezioni in aula, comprendenti la discussione di alcuni dei problemi/esercizi proposti.
Metodi Didattici - Cognomi O-Z
Lezioni in aula, comprendenti la discussione di problemi/esercizi.
Lo svolgimento regolare e scrupoloso di eventuali "compiti" assegnati -- unita, naturalmente, ad una pratica costante di studio -- e' parte integrante e fondamentale del corso.
Il programma esteso seguente e' indicativo; il programma dettagliato si desume dal registro delle lezioni,
disponibile nel sito della docente (Bucci Francesca) alla voce Didattica A.A. 2013/14.
Analisi Matematica I (cognomi O-Z)
-- Richiami, preliminari, funzioni
Introduzione al corso.
Insiemi, operazioni sugli insiemi e simboli logici.
Insiemi numerici, massimi e minimi, estremi. Proprieta' di completezza dei numeri reali e sue conseguenze.
Funzioni: iniettivita' e suriettivita'; funzioni composte e inverse.
Funzioni reali di variabile reale: funzioni elementari, monotonia e inverse delle funzioni elementari.
-- Successioni, limiti, continuita'
Limiti e continuita': Limiti di successioni e di funzioni; continuita'. Teoremi sui limiti: unicita' del limite, permanenza del segno e limitatezza locale, teoremi di confronto. Limiti di funzioni monotone. Algebra dei limiti. Forme indeterminate. Confronto di funzioni. Simboli di Landau. Infiniti e infinitesimi. Ordine di infinito e di infinitesimo, parte principale (rispetto a un dato campione). Asintoti.
Il numero e. Limiti notevoli trigonometrici ed esponenziali. Funzioni continue su un intervallo: esistenza degli zeri e dei massimi e minimi.
-- Derivate, sviluppi asintotici
Derivate: significato geometrico e fisico. Regole di derivazione. Tabella delle derivate fondamentali.
Derivate e continuita'. Punti di non derivabilita', punti di estremo e punti critici. Teorema di Fermat. Funzioni derivabili su intervalli e teoremi fondamentali del calcolo differenziale (Rolle e Lagrange) e loro conseguenze. Regola di de L'Hopital.
Formula di Taylor e sviluppi di McLaurin fondamentali.
Uso degli sviluppi di Taylor nello studio del comportamento locale delle funzioni: confronto di funzioni, estremi, convessita'. Applicazioni allo studio del grafico di funzioni.
-- Integrali
Primitive e regole di calcolo delle primitive; primitive di funzioni razionali. Integrale indefinito.
Integrale di Riemann e sue proprieta': monotonia, additivita' e linearita' dell'integrale; media integrale. Classi di funzioni integrabili.
Teorema fondamentale del calcolo integrale: relazione tra primitive e integrazione definita.
Integrali impropri: definizioni e criteri di convergenza.
-- Serie Numeriche
Somme parziali (o ridotte) n-sime, somma di una serie. Serie regolari e serie oscillanti.
Serie geometrica. Condizione necessaria per la convergenza di una serie.
La serie armonica.
Serie a termini non negativi; criterio del confronto e del confronto asintotico;
criterio del rapporto e della radice; serie armonica generalizzata.
*Serie a termini di segno variabile, criterio di Leibniz. Convergenza assoluta di una serie.
-- Equazioni Differenziali Ordinarie (EDO)
EDO: il problema di Cauchy.
Equazioni differenziali lineari del primo ordine.
*EDO del primo ordine non lineari, EDO a variabili separabili.
Equazioni differenziali lineari del secondo ordine a coefficienti costanti.