Equazioni alle differenze, stabilita' delle soluzioni, metodi lineari multistep per equazioni differenziali ordinarie. Funzioni di matrici, successioni di funzioni di matrici, matrici positive. Sistemi lineari. Sistemi nonlineari, linearizzazione, funzioni di Liapunov. Problemi conservativi. Il metodo delle linee, spettro di una famiglia di matrici, applicazione alle equazioni alle derivate parziali di tipo parabolico ed iperbolico. Applicazioni.
Dispense del docente.
L.Brugnano, D.Trigiante. Solving Differential Problems by Multistep Initial and Boundary Value Methods. Gordon and Breach Science Publ., 1998.
Obiettivi Formativi
Conoscenze: Introduzione ai metodi numerici per equazioni differenziali, inseriti nel contesto dei sistemi dinamici.
Capacità acquisite al termine del corso: Saper risolvere, mediante l'utilizzo del calcolatore, problemi di evoluzione descritti da equazioni differenziali ordinarie, ed i casi piu' semplici di equazioni alle derivate parziali.
Prerequisiti
Corsi raccomandati: analisi matematica I e II (funzioni di piu' variabili, equazioni differenziali lineari), Geometria I (vettori, matrici, spazi vettoriali, forma canonica di Jordan) analisi numerica (sistemi lineari e nonlineari, interpolazione polinomiale, aritmetica finita, condizionamento).
Metodi Didattici
Numero di ore totali del corso: 225
Numero di ore per studio personale e altre attività formative di tipo individuale: 162
Numero di ore relative alle attività in aula: 63
Altre Informazioni
Orario di ricevimento
Martedi', ore 10-12 o per appuntamento (contattare il docente per e-mail)
Modalità di verifica apprendimento
Orale con predisposizione di un elaborato
Programma del corso
Equazioni alle differenze: generalita', operatori differenza e shift, potenze fattoriali, casi particolari di equazioni alle differenze, principio del confronto.Equazioni alle differenze lineari: soluzione generale, il caso di equazioni a coefficienti costanti, stabilita' delle soluzioni, modello del cobweb in economia e modello di economia di una nazione, metodi lineari multistep, consistenza, zero-stabilita' e convergenza, assoluta stabilita', barriere di Dahlquist.Funzioni di matrici: polinomio minimale, funzioni di matrice, matrici componenti, successione di funzioni di matrici, analisi mediante la forma canonica di Jordan, matrici positive, teorema di Perron-Frobenius.Sistemi lineari: sistemi di equazioni differenziali ordinarie lineari e sistemi di equazioni alle differenze lineari, modello di corsa agli armamenti e modello del pacifista, stiffness di un problema lineare e ruolo dei metodi A-stabili.Sistemi nonlineari: sistemi nonlineari di equazioni alle differenze e sistemi nonlineari di equazioni differenziali ordinarie, processo di linearizzazione, funzioni di Liapunov, applicazioni. Generalizzazione del concetto di stiffness per problemi nonlineari.Problemi conservativi.Polinomi e matrici di Toeplitz: matrici di Toeplitz a banda, spettro di una famiglia di matrici.Il metodo delle linee: sua applicazione per risolvere l'equazione del calore e l'equazione delle onde.