Risoluzione di sistemi lineari. Calcolo vettoriale. Spazi vettoriali.
Obiettivi Formativi - Cognomi M-Z
Fornire conoscenze di base nell'ambito della geometria analitica (interpretazione geometrica delle equazioni) e dell'algebra lineare (analisi di sistemi lineari, concetto di linearita' e di autovettore).
Prerequisiti - Cognomi A-L
Calcolo algebrico. Trigonometria. Geometria elementare. Logaritmi e esponenziali
Prerequisiti - Cognomi M-Z
Manualita' nel calcolo algebrico; trigonometria; geometria elementare del piano e dello spazio.
Metodi Didattici - Cognomi A-L
Lezioni e esercitazioni in aula.
Metodi Didattici - Cognomi M-Z
Lezioni ed esercitazioni svolte in aula secondo l'orario.
Altre Informazioni - Cognomi A-L
Nessuna
Altre Informazioni - Cognomi M-Z
Altre informazioni e materiale didattico sulla pagina web personale:
www.math.unifi.it/~raffy
Modalità di verifica apprendimento - Cognomi A-L
Esame finale con prova scritta e orale
Modalità di verifica apprendimento - Cognomi M-Z
Una prova scritta finale ed una successiva prova orale conclusiva.
Per ulteriori dettagli e prove di esame si veda la pagina web personale:
www.math.unifi.it/~raffy
Programma del corso - Cognomi A-L
Matrici e determinanti.
Matrici. Operazioni tra matrici; proprietà. Prodotto righe per colonne di matrici. Matrici diagonali, trasposte, simmetriche. Inversa di una matrice. Determinante: calcolo, proprietà. Combinazione lineare, lineare dipendenza e indipendenza di righe e colonne. Rango e caratteristica. Teorema di Binet. Teorema sulla matrice inversa. Algoritmo di Gauss per la riduzione a scala di matrici. Rango di una matrice a scala.
Sistemi lineari.
Equazioni lineari. Sistemi di equazioni lineari omogenei e non omogenei. Teorema e regola di Cramer. Ricerca matrice inversa. Teorema di Rouché-Capelli. Algoritmo di Gauss per la risoluzione dei sistemi lineari.
Vettori.
Rappresentazione dei numeri reali su una retta. Coordinate cartesiane nel piano e nello spazio. Vettori liberi ed applicati. Operazioni tra vettori; prodotto scalare, proprietà; Ortogonalità. Modulo. Disuguaglianza triangolare. Angolo fra due vettori. Vettori linearmente dipendenti e indipendenti. Vettori complanari e loro caratterizzazione. Prodotto vettoriale; proprietà. Area di un parallelogramma e di un triangolo. Prodotto misto; proprietà. Volume di un tetraedro. Spazi vettoriali. Vettori linearmente dipendenti e indipendenti. Basi. Dimensione. Sottospazi vettoriali. Applicazioni lineari. Nucleo e immagine.
Autovalori e autovettori di una matrice. Loro ricerca. Polinomio caratteristico.
Matrici diagonalizzabili. Base di autovettori. Molteplicità algebrica e geometrica. Criteri di diagonalizzazione.
Geometria analitica del piano e dello spazio.
Equazione parametrica e cartesiana di una retta. Retta per due punti. Condizioni di parallelismo ed ortogonalità tra rette. Punto medio di un segmento. Distanza di un punto da una retta. Coniche; circonferenza, ellisse, iperbole e parabola: definizione e proprietà. Coniche in forma generale. Classificazione affine delle coniche.
Piani nello spazio. Piano ortogonale ad un vettore. Piani paralleli; piani perpendicolari. Distanza di un punto da un piano. Retta in forma parametrica. Retta per due punti. Retta come intersezione di due piani. Parametri direttori di una retta. Parallelismo e ortogonalità fra rette e fra rette e piani. Distanza di un punto da una retta. Angolo fra rette. Angolo fra piani. Angolo fra una retta ed un piano. Rette sghembe; distanza fra due rette sghembe. Posizione di due rette nello spazio e di tre piani nello spazio. Fascio di piani.
Programma del corso - Cognomi M-Z
Vettori liberi ed applicati. Somma, moltiplicazione per uno scalare e relative proprietà. Dipendenza lineare, parallelismo e complanarietà. Sottospazi generati e basi. Prodotto scalare, vettoriale e misto: definizioni, significato geometrico. Ortogonalità e proiezioni ortogonali. Angolo fra vettori.
Spazi vettoriali: definizione, dipendenza lineare, basi, dimensione e coordinate. Sottospazi vettoriali.
Spazi vettoriali R^2, R^3, R^n. Spazio dei polinomi in una variabile.
Matrici: definizione, operazioni fondamentali e relative proprietà. Matrici di forma particolare. Spazio vettoriale delle matrici. Matrici particolari. Determinante: calcolo e proprietà. Matrici invertibili. Rango e caratteristica. Matrici a scala e riduzione di Gauss.
Sistemi lineari: generalità, Teorema di Rouché-Capelli e struttura dello spazio delle soluzioni. Risoluzione con il metodo di Gauss. Teorema e regola di Cramer.
Geometria analitica nel piano e nello spazio: equazioni parametriche e cartesiane di rette e piani; condizioni di parallelismo ed ortogonalità; posizioni reciproche. Distanze. Angoli. Fasci di piani. Cambiamento di sistema di riferimento.
Applicazioni lineari: definizione, nucleo e immagine; matrice associata.
Autovalori e autovettori: definizione e loro ricerca. Molteplicità algebrica e geometrica. Applicazioni diagonalizzabili e criteri di diagonalizzazione.
Coniche e quadriche. Generalità, proprietà e classificazione.