Geometria e algebra lineare: diagonalizzazione, teorema spettrale, coniche, quadriche, superfici rigate, superfici di rotazione. Funzioni di più variabili: limiti,continuità, differenziabilità, massimi e minimi. Numeri complessi. Integrali doppi e multipli. Equazioni differenziali.
Contenuto del corso - Cognomi E-M
Calcolo differenziale e integrale per funzioni di più variabili reali. Numeri complessi. Coniche e quadriche. Equazioni differenziali. Complementi di Algebra lineare.
Contenuto del corso - Cognomi N-Z
Calcolo differenziale e integrale per funzioni di più variabili reali. Numeri complessi. Coniche e quadriche. Equazioni differenziali. Autovalori e autovettori di una matrice quadrata.
G. Anichini, G. Conti Calcolo 2 e Calcolo 3 Pitagora editrice.
A. Nannicini, L. Verdi Note ed esercizi svolti di Geometria analitica Pitagora editrice.
Le dispense del corso saranno consegnate dal docente. Per eventuali approfondimenti possono essere consultati
G. Anichini, G. Conti Calcolo 1 Pitagora editrice.
G. Anichini, G. Conti Calcolo 2 Pitagora editrice.
G. Anichini, G. Conti Calcolo 3 Pitagora editrice.
Obiettivi Formativi - Cognomi A-D
Il corso intende potenziare e arricchire la formazione culturale e tecnico-scientifica degli allievi architetti e fornire le conoscenze matematiche necessarie per affrontare lo studio delle materie scientifiche e tecniche del corso di studi.
Obiettivi Formativi - Cognomi E-M
Conoscenze delle funzioni di più variabili e risoluzione di equazioni differenziali
Obiettivi Formativi - Cognomi N-Z
Familiarità con alcuni problemi matematici quali: ricerca di massimi e minimi liberi o vincolati di una funzione di due variabili, risoluzione di equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti, determinazione del baricentro di una lamina o del volume di un solido, classificazione di una conica o una quadrica.
Prerequisiti - Cognomi A-D
Tutti gli argomenti trattati nel corso di Istituzioni di Matematiche I.
Prerequisiti - Cognomi E-M
Calcolo differenziale e integrale per funzioni di una variabile. Elementi base di Algebra lineare.
Prerequisiti - Cognomi N-Z
Tutti gli argomenti trattati nel corso di Istituzioni di Matematiche I.
Metodi Didattici - Cognomi A-D
Il corso si basa su lezioni ed esercitazioni frontali.
Metodi Didattici - Cognomi E-M
Lezioni ed esercitazioni
Metodi Didattici - Cognomi N-Z
Lezioni ed esercitazioni frontali.
Modalità di verifica apprendimento - Cognomi A-D
Esame finale con prova scritta e prova orale.
Modalità di verifica apprendimento - Cognomi E-M
Prova scritta e prova orale finale.
Modalità di verifica apprendimento - Cognomi N-Z
Compito scritto e prova orale.
Programma del corso - Cognomi A-D
Algebra lineare e geometria analitica. Diagonalizzazioni di matrici e di endomorfismi di R?. Basi ortonormali e matrici ortogonali. Teorema spettrale. Coniche come luoghi geometrici. Cambiamenti di riferimento. Riduzione a forma canonica delle coniche e loro classificazione. Sfera, circonferenza: intersezione di un piano e una sfera, intersezione di due sfere; coni, cilindri, superfici di rotazione. Quadriche in forma canonica.
Numeri complessi. Definizione. Le operazioni. Forma trigonometrica. Potenze e radici di un numero complesso. Teorema fondamentale dell'algebra e corollari. Esponenziale complesso.
Integrali semplici secondo Riemann. Definizione di integrabilità. Linearità, monotonia e additività dell'integrale. Integrabilità delle funzioni continue e monotone. Teorema della media integrale. Funzione integrale. Teoremi fondamentali del calcolo integrale. Integrale indefinito. Funzione primitiva. Regole di integrazione: integrazione immediata, integrazione per scomposizione, integrazione per parti, integrazione per sostituzione. Integrazione delle funzioni razionali, delle funzioni trigonometriche, delle funzioni con radicali. Funzioni iperboliche e applicazioni al calcolo integrale. Calcolo di aree.
Topologia del piano. Punti interni. Punti di accumulazione. Punti isolati. Insiemi limitati. Diametro. Insiemi aperti, chiusi. Frontiera di un insieme. Insiemi connessi. Insiemi convessi.
Funzioni di più variabili. Linee di livello di una funzione di due variabili. Limiti. Continuità. Funzioni composte. Teorema di Weierstrass. Derivate parziali. Funzioni differenziabili. Piano tangente ad un grafico. Teorema del differenziale totale. Derivata di funzioni composte. Derivata direzionale. Gradiente. Derivate parziali di ordine superiore. Teorema di Schwarz. Massimi e minimi relativi, teorema di Fermat in due variabili, hessiano. Ricerca dei massimi e minimi assoluti.
Integrali multipli. Definizioni e proprietà. Formule di riduzione. Formule di cambiamento di variabili. Volume di un solido. Formula dell'area del grafico di una funzione di due variabili. Volume e area della superficie di un solido di rotazione.
Equazioni differenziali ordinarie. Generalità. Equazioni differenziali in forma normale. Teorema di esistenza e unicità per il Problema di Cauchy. Equazioni differenziali lineari del primo ordine. Equazioni differenziali a variabili separabili, omogenee, di Bernulli . Equazioni differenziali lineari di ordine n. Teorema di esistenza e unicità per il Problema di Cauchy. Wronskiano. Metodo della variazione delle costanti arbitrarie. Equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti (omogenee e non omogenee), metodi di risoluzione.
Programma del corso - Cognomi E-M
Teoria delle quadriche. Classificazione delle quadriche. Quadriche in forma generale. Quadriche in forma canonica. Quadriche non degeneri: Paraboloide ellittico, paraboloide iperbolico, iperboloide a una falda, iperboloide a due falde, ellissoide, sfera. Quadriche non degeneri: coni e cilindri quadrici. Esempi in architettura.
Integrali indefiniti. Integrazione per sostituzione, per parti. Integrazione di funzioni razionali. Integrali di funzioni trascendenti. Integrali impropri. Criteri di convergenza.
Definizione di numero complesso; operazioni e relative proprietà. Modulo e coniugato di un numero complesso. Il piano di Argand-Gauss. Forma trigonometrica; argomento e argomento principale. Prodotto e divisione di due numeri complessi in forma trigonometrica; la formula di De Moivre. Le radici n-esime di un numero complesso; interpretazione geometrica. Scomposizione in fattori di un polinomio. Il teorema fondamentale dell’algebra.
Topologia del piano e dello spazio; intorno di un punto, punti di accumulazione, punti interni, isolati, di frontiera, esterni. Insiemi aperti, chiusi, limitati, compatti, con¬ves¬si, connessi.
Funzioni di più variabili; definizione, campo di esistenza, grafico; curve di livello; massimi e minimi relativi e assoluti.
Definizione di limite; calcoli di limiti; metodo delle coordinate polari. Funzioni continue; proprietà delle funzioni continue; teoremi di esistenza del massimo e del minimo as¬so¬luti e dei valori intermedi.
Derivate parziali; significato geometrico; funzioni differenziabili e differenziale; pro¬prie¬tà delle funzioni differenziabili (continuità e derivabilità); funzioni di classe C1; teore¬ma del differenziale totale. Applicazioni. Teorema sulla derivata di una funzione composta. Retta orientata, coseni direttori; derivate direzionali, significato geome¬trico. Gradiente; sue proprietà e significato geometrico.
Superfici nello spazio; piano tangente ad una superficie in forma cartesiana.
Derivate parziali di ordine superiore; teorema di Schwarz.
Teorema dell'annullamento delle derivate parziali nei punti di massimo e di minimo relativi. Punti di sella; determinante hessiano; ricerca dei punti di massimo e di minimo relativi e dei punti di sella.
Funzioni implicite; teorema del Dini. Retta tangente ad una curva nel piano in forma cartesiana.
Massimi e minimi vincolati; metodo dei moltiplicatori di Lagrange.
Ricerca dei massimi e dei minimi assoluti di una funzione di più variabili.
Curve nel piano e nello spazio in forma parametrica; curve semplici, curve regolari, curve chiuse, curve generalmente regolari. Retta tangente ad una curva. Lun¬ghezza di una curva generalmente regolare. Curve orientate.
Integrali doppi; definizione e proprietà. Significato geometrico. Domini normali rispetto agli assi cartesiani. Calcolo degli integrali doppi. Calcolo di volumi. Metodo di Cava¬lieri.
Insiemi piani misurabili; insiemi di misura nulla.
Trasformazioni piane; determinante jacobiano. Cambiamento di variabili negli integrali doppi. Coordinate polari. Area di una superficie. Baricentro di una figura.
Equazioni differenziali; definizione, esempi, condizioni iniziali; soluzioni di un'equa¬zione differenziale. equazioni differenziali in forma normale. Problema di Cauchy; teo¬rema di Cauchy e teorema di Peano sull'esistenza di soluzioni.
Equazioni differenziali lineari del primo ordine, formula risolutiva. Equazioni diffe¬renziali del primo ordine: a variabili separabili, omogenee, di Bernoulli.
Equazioni differenziali lineari di ordine n. Teorema di esistenza ed unicità delle solu¬zioni. Equazioni differenziali lineari omogenee. Soluzioni linearmente dipendenti e in¬dipendenti. Wronskiano. Condizione necessaria e sufficiente affinché le solu¬zioni siano linearmente indipendenti. Sistema fondamentale di soluzioni; integrale generale di un'equazione differenziale lineare omogenea.
Equazioni differenziali lineari non omogenee; forma delle soluzioni generali. Solu¬zioni particolari.
Metodo di Lagrange delle variazioni delle costanti arbitrarie.
Equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti. Ricerca della soluzione generale; equazione caratteristica. Ricerca delle soluzioni particolari di un'equazione differen¬ziale lineare in alcuni casi notevoli.
Spazi vettoriali. Vettori linearmente dipendenti e indipendenti. Spazi di dimensione finita. Base di uno spazio vettoriale. Componenti di un vettore. Dimensione. Sottospazi vettoriali. Applicazioni lineari. Nucleo e immagine. Isomorfismo. Teorema nullità più rango. Matrice associata ad un’applicazione lineare. Cambiamento di base. Autovettori e autovalori. Polinomio ed equazione caratteristica. Diagonalizzazione di matrici. Condizione necessaria e condizioni sufficienti.
Programma del corso - Cognomi N-Z
Coniche e quadriche: Le quadriche in forma canonica; le quadriche rigate. Cambiamento di un sistema di riferimento cartesiano ortogonale, traslazioni e rotazioni. Tabelle delle classificazioni affini di coniche e quadriche; centro e piani di simmetria.
Matrici e trasformazioni lineari: Matrice associata ad una trasformazione lineare; autovalori, autovettori, autospazi e criterio di diagonalizzazione di una matrice quadrata; autovalori come massimi e minimi di una forma quadratica; teorema spettrale per matrici reali simmetriche.
Funzioni di due variabili: Grafico di una funzione e sue curve di livello; derivate direzionali, derivate parziali e gradiente di una funzione; legame tra il gradiente e le curve di livello e tra il gradiente ed il piano tangente al grafico di una funzione; punti critici e loro classificazione mediante la matrice hessiana; derivate seconde direzionali e loro rappresentazione come forma quadratica associata alla matrice hessiana; sostituzione o metodo dei moltiplicatori di Lagrange per la determinazione dei massimi e minimi vincolati.
Numeri complessi: Operazioni nei numeri complessi, rappresentazione trigonometrica dei numeri complessi, interpretazione geometrica della somma e del prodotto di numeri complessi; radici complesse coniugate di un polinomio a coefficienti reali; cenno alla funzione esponenziale complessa.
Integrali: Integrali definiti e loro applicazione al calcolo delle aree di una regione piana; integrali doppi e loro applicazione al calcolo di un volume, al calcolo del centro di massa e dei momenti d’inerzia di una lastra piana; cambiamento di variabili negli integrali doppi e passaggio alle coordinate polari.
Equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti: Lo spazio vettoriale delle soluzioni di un’equazione omogenea e la sua dimensione; polinomio caratteristico e generatori dello spazio delle soluzioni dell’equazione omogenea; soluzione particolare per equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti con termine noto di forma conveniente; studio del moto di un grave in caduta libera con e senza attrito; studio del moto dell’oscillatore semplice, libero, smorzato e forzato; risonanza.