Metodi di interpolazione ed approssimazione. Interpolazione polinomiale di Hermite e per curve. Le funzioni Splines. Approssimazione di Berstein. La migliore approssimazione ai minimi quadrati. La derivazione numerica. Le formule di quadratura in generale e quelle interpolatorie. MATLAB.
L. Gori, Calcolo Numerico IV edizione 2006, Edizioni KAPPA
F. Fontanella, A. Pasquali, Calcolo numerico, Metodi e algoritmi. Vol. 2, 1980, Pitagora Editore
M.L. Lo Cascio, Fondamenti di Analisi Numerica, 2007, McGraw-Hill Bevilacqua , Bini , Capovani, Menchi, Metodi Numerici, 1992, Zanichelli
Obiettivi Formativi
Saper riconoscere e risolvere un problema di approssimazione
Prerequisiti
Elementi di base del calcolo numerico. Conoscenza del linguaggio MATLAB
Metodi Didattici
Lezione frontale ed esercitazione Matlab in laboratorio sugli argomenti visti a lezione
Modalità di verifica apprendimento
Esame orale ed elaborato Matlab
Programma del corso
[1] Approssimazione ed interpolazione:
[1.1] Posizione del problema: classi di funzioni e forma delle possibili approssimanti;
[1.2] Il polinomio interpolante nella forma di Lagrange; Espressione dell'errore;
[1.3] L'errore nel caso dei nodi uniformi ed il suo comportamento asintotico;
[1.4] Stabilita' nelle formule di interpolazione e la costante di Lebesgue;
[1.5] I polinomi di Chebyshev; Interpolazione con nodi gli zeri di Chebyshev;
[1.6] Il Teorema di Weierstrass ed in polinomi di Berstein;
[1.7] Polinomi interpolanti di tipo osculatorio ed interpolazione di Hermite; Espressione dell'errore;
[1.8] Le funzioni Splines: definizione, prorieta', base delle potenze troncate;
[1.9] Spline interpolanti ed approssimanti; Le spline cubiche interpolanti nei nodi (naturali e complete)
1.10] Le B-spline come base dello spazio delle spline e l'algoritmo di De Boor (con particolare attenzione al caso cubico);
[1.1] Il caso parametrico: interpolazione parametrica con parametrizzazione uniforme e della lunghezza dell'arco;
[2] Sistemi lineari rettangolari: il problema lineare dei minimi quadrati min_{x\in \RR^n}||Ax-b||_2 caso m>> n
[2.1] Posizione del problema; Esistenza ed unicita' della soluzione;
[2.2] Risoluzione mediante il sistema delle equazioni normali A^TAx=A^Tb;
[2.3] Matrici ortogonali e loro proprieta'; le matrici di Hauseholder;
[2.4] Fattorizzazione QR di una matrice utilizzando le matrici di Hauseholder;
[2.5] Risoluzione del problema lineare dei minimi quadrati utilizzando la fattorizzazione QR;
[2.6] La migliore approssimazione ai minimi quadrati trigonometrica ed il caso particolare dell'interpolazione; sviluppo di Fourier: cenni;
[3] Derivazione numerica: idee di base ed alcune semplici formule. Il metodo dei coefficienti indeterminati;
[4] Formule di quadratura (FdQ)
[4.1] Posizione del problema; caso lineare sui nodi x_0,...,x_n: formule del tipo \sum_{i=0}^nw_if(x_i)
[4.2] Grado di precisione g per le FdQ; limitazione superiore del grado di precisione (GdP) g<=2n+1
[4.3] Caso pesi equilimitati: dimostrazione di convergenze delle FdQ all'integrale per n->\infty e studio della stabilita' della formula;
[4.4] Metodo dei coefficienti indeterminati;
[4.5] FdQ interpolatorie: generalita' e limite inferiore del grado di precisione (n<=g<=2n+1);
[4.5.1] Formule di Newton-Cotes di tipo aperto; grado di precisione ed esempi;
[4.5.2] Formule di Newton-Cotes di tipo chiso; grado di precisione ed esempi;
[4.5.4] Valutazione pratica dell'errore e metodo di estrapolazione di Richardson;
[4.5.5] Formule di quadratura adattative;