Introduzione alle equazioni differenziali. Meccanica lagrangiana per i sistemi liberi e vincolati. Principi variazionali. Cinematica e dinamica dei sistemi rigidi. Introduzione alla meccanica hamiltoniana
Lezioni di Sistemi Dinamici, Riccardo Ricci, A cura di: L. Barletti, A. Farina. L. Fusi, F. Talamucci, Firenze University Press, 2016
Obiettivi Formativi
Conoscenze:
Introduzione alla modellazione matematica di fenomeni naturali complessi e al loro trattamento con strumenti matematici avanzati, muovendosi nell'ambito della meccanica classica.
Competenze e capacità acquisite (al termine del corso):
Scrivere le equazioni di moto di sistemi meccanici, discuterne la risolubilità.
Essere capaci di impostare il modello matematico di semplici sistemi meccanici e studiare i relativi problemi matematici.
Lezioni frontali: esposizione critica della teoria in programma, con interazione diretta docente-studente per facilitare e assicurare la piena comprensione della materia Esercitazioni: guida per gli studenti alla risoluzione di una vasta scelta di problemi variegati riguardanti la meccanica. Le esercitazioni sono condotte in modo da aiutare gli studenti a sviluppare le capacità di applicare e comunicare le conoscenze acquisite.CFU: 12
Numero di ore totali del corso: 300
Studio personale e altre attività formative di tipo individuale: ore 174
Lezioni in aula: ore 60
Lezioni in laboratorio: 0
Esercitazioni: ore 60
Attivita’ seminariali: 0
Stage: 0
Numero di prove in itinere 2 (di due ore ciascuna).
Altre Informazioni
Frequenza delle lezioni ed esercitazioni: Raccomandata
Piattaforma Moodle: raccolte di esercizi e testi di prove d’esame.
Orario di ricevimento del Prof. Farina, su appuntamento
Dipartimento di Matematica e Informatica "Ulisse Dini"
Viale Morgagni, 67/a
50134 - Firenze (FI)
Tel: 055 2751435
E-Mail: angiolo.farina@ unifi.it
Modalità di verifica apprendimento
L’esame finale ha lo scopo di accertare l’acquisizione delle conoscenze e delle abilità tramite lo svolgimento di una prova scritta della durata di 2 ore e di una prova orale.
La prova scritta consiste di 2 esercizi su argomenti del programma svolto a lezione.
La prova orale consiste in una colloquio tecnico con il docente volto a verificare le conoscenze, le competenze e le capacità dell'allievo.
Programma del corso
1 Cinematica dei sistemi rigidi
1.1. Introduzione
1.2 Moti rigidi
1.3 Asse istantaneo di moto, rigate del moto
1.4 Cinematica relativa: composizione delle velocita’
1.5 Composizione di moti rigidi
1.6 Angoli di Eulero
1.7 Cinematica relativa: l’accelerazione
2 Equazioni differenziali
2.1 Considerazioni generali
2.2 Il problema di Cauchy
2.2.1 Equazioni autonome
2.2.2 Equazioni reversibili
2.3 Equazioni integrabili
2.3.1 Il caso “conservativo”
2.3.2 Analisi qualitativa nel caso conservativo
2.4 Il piano delle fasi
2.5 Punti di equilibrio, stabilità
2.5.1 Il criterio di Lyapunov
2.5.2 Asintotica stabilità
2.5.3 I sistemi conservativi
2.6 Approssimazione del periodo nei punti di equilibrio
2.7 Sistemi lineari bidimensionali
2.7.1 Moto armonico smorzato e forzato
2.8 Stabilità lineare
3 Equazioni di Lagrange
3.1 Equazioni di Lagrange per un punto materiale
3.2 Il moto centrale
3.2.1 L’equazione per r
3.2.2 Il problema di Keplero
3.2.3 L’orbita del problema di Keplero
3.2.4 La terza legge
4 I sistemi vincolati e coordinate lagrangiane
4.1 Sistemi olonomi
4.1.1 Atti di moto virtuali
4.1.2 Spostamenti virtuali in funzione delle coordinate lagrangiane
4.1.3 Punto vincolato a una superficie qualsiasi
5 Le equazioni di moto
5.1 Il punto vincolato
5.2 L’equazione simbolica della dinamica e della statica
5.3 Le equazioni di Lagrange
5.3.1 Risolubilità delle equazioni di Lagrange
5.3.2 Invarianza delle equazioni di Lagrange
5.3.3 Coordinate cicliche
5.3.4 La conservazione dell’energia
5.4 Equilibrio
5.4.1 Stabilità
5.5 Piccole Oscillazioni
5.5.1 Soluzione delle equazioni delle piccole oscillazioni
5.5.2 Dimostrazione del Teorema spettrale
6 Dinamica dei sistemi rigidi
6.1 Le equazioni cardinali
6.2 Le equazioni cardinali per i rigidi
6.3 Espressione di L e T per i rigidi: il tensore d’inerzia
6.3.1 Espressione del momento della quantità di moto
6.3.2 Significato dei momenti
6.3.3 L’energia cinetica
6.4 Le precessioni per inerzia
6.4.1 Le equazioni di Eulero
6.5 Il moto a’ la Poinsot
6.6 Il giroscopio pesante
7 Principi variazionali
7.1 La brachistocrona
7.2 L’equazione di Eulero-Lagrange
7.3 Il principio di Hamilton
7.4 Il principio di minima azione
7.4.1 Coordinate cicliche
8 Il sistema canonico
8.1 Le parentesi di Poisson
8.2 Derivazione variazionale delle equazioni di Hamilton
8.3 Trasformazioni canoniche