Errori e aritmetica finita; condizionamento e stabilita’. Interpolazione e approssimazione polinomiale e polinomiale a tratti. Formule di quadratura interpolatoria e formule composite; estrapolazione di Richardson. Equazioni non lineari: metodi di bisezione, punto fisso, secanti e Newton. Sistemi lineari: eliminazione di Gauss con pivoting parziale; fattorizzazioni LU, QR e varianti; metodi di Jacobi e di Gauss-Seidel; minimi quadrati lineari. Introduzione al MATLAB.
Conoscenze:
Il corso si occupa della definizione e dello studio di metodi per la risoluzione di problemi matematici mediante l’uso dell’elaboratore elettronico. Scopo del corso è quello di illustrare le metodologie di base dell’analisi numerica per la risoluzione di problemi matematici che nascono nelle applicazioni (approssimazione polinomiale di dati e funzioni, calcolo di integrali definiti, risoluzione di sistemi lineari e calcolo delle radici di equazioni non lineari) ponendo una particolare attenzione agli aspetti legati alla realizzazione e all’utilizzo di tali metodologie su calcolatore.
Competenze acquisite:
Conoscenza dei metodi numerici classici per risolvere i problemi matematici considerati
Capacita’ acquisite (al termine del corso):
Capacita’ di sviluppare semplici programmi e di utilizzare l’ambiente Matlab per risolvere i problemi matematici considerati. Capacita’ di interpretare i risultati numerici ottenuti.
Prerequisiti
Corsi vincolanti: Analisi Matematica I, Geometria I.
Metodi Didattici
Lezioni frontali: esposizione critica della teoria in programma, con interazione diretta docente-studente per facilitare e assicurare la piena comprensione della materia.
Esercitazioni in aula informatica: sessioni pratiche per imparare a risolvere numericamente i problemi matematici in ambiente Matlab.
Le esercitazioni sono svolte in modo da:
- aiutare gli studenti a sviluppare le capacità di applicare le conoscenze acquisite;
- migliorare la loro autonomia di giudizio, in particolare nella interpretazione dei risultati forniti dal calcolatore.
Piattaforma Moodle: sviluppo dell’interazione online docente-studente, diffusione di dispense delle lezioni e integrative, di raccolte di esercizi e di esempi di testi di prove d’esame.
Nota: I testi e le dispense proposti o consigliati contengono materiale supplementare per approfondimento personale e per ulteriore studio.
Altre Informazioni
Frequenza delle lezioni ed esercitazioni: Raccomandata
Strumenti a supporto della didattica: libro di testo, dispense, UniFi E-Learning: http://e-l.unifi.it
Modalità di verifica apprendimento
Prova pratica in Matlab e colloquio sul programma svolto.
La prova Matlab consiste in due prove intermedie (o una prova finale): sono proposti vari esercizi (solitamente tre per ciascuna prova intermedia, quattro per la prova finale). Gli esercizi sono strutturati in modo da valutare la capacità degli studenti di applicare le conoscenze teoriche e tecniche acquisite alla soluzione di problemi. Vengono valutate con particolare attenzione sia la correttezza dei procedimenti seguiti, sia la capacita' di intepretare i risultati numerici ottenuti.
Prova orale: vengono poste alcune domande (solitamente tre) sul programma svolto. La prova è strutturata per verificare la conoscenza e il grado di comprensione della teoria svolta nel corso. Vengono valutate con particolare attenzione sia la capacità di comunicare la materia in modo critico, sia l’uso di un linguaggio matematico appropriato.
Programma del corso
Metodi numerici e algoritmi: definizioni. Analisi degli errori in un processo numerico: errori di discretizzazione e errori di arrotondamento; aritmetica in virgola mobile e precisione finita; condizionamento e stabilita’.
Interpolazione polinomiale e polinomiale a tratti: forma di Lagrange e forma di Newton del polinomio interpolante, errore di interpolazione, condizionamento del problema, ascisse di Chebyshev; funzioni spline, spline cubiche interpolanti nei nodi. Approssimazione polinomiale ai minimi quadrati.
Integrazione numerica: formule di Newton-Cotes; formule composite; analisi dell’errore e condizionamento; estrapolazione di Richardson; formule adattive.
Risoluzione di equazioni non lineari: condizionamento del problema; metodo di bisezione, metodi di punto fisso, metodo delle secanti e metodo di Newton; proprieta’ di convergenza e questioni algoritmiche. Metodo di Newton per sistemi non lineari (cenni).
Metodi diretti per sistemi lineari: metodo di eliminazione di Gauss; fattorizzazioni LU e di Cholesky; trasformazioni di Householder e fattorizzazione QR; tecniche di pivoting; analisi dell’errore. Problemi di minimi quadrati lineari: equazioni normali; metodo della fattorizzazione QR.
Metodi iterativi stazionari per sistemi lineari: definizione e analisi di convergenza; metodi di splitting (Jacobi e Gauss-Seidel); metodo di Richardson.
Introduzione all’ambiente di programmazione MATLAB.