Linguaggio delle proposizioni. Numeri reali. Successioni e funzioni reali di una variabile reale. Il concetto di limite. Funzioni continue. Funzioni derivabili e loro proprietà. Problemi di minimo/massimo. Grafici. Formula di Taylor e sue applicazioni. Funzioni convesse. Integrale secondo Riemann. Il Teorema fondamentale del calcolo integrale. Calcolo degli integrali. Integrali impropri. Serie numeriche. Introduzione ai modelli differenziali.
Paolo Marcellini e Carlo Sbordone, Elementi di Analisi Matematica uno, Liguori Editore, 2002.
Carlo D. Pagani e Sandro Salsa,
Analisi matematica 1 (Seconda edizione, 2015), Zanichelli, Bologna.
Altri testi:
Enrico Giusti, Analisi Matematica 1 (Terza edizione interamente riveduta ed ampliata), Bollati Boringhieri, 2002.
Walter Rudin, Principles of mathematical analysis, McGraw-Hill, 2015.
Obiettivi Formativi
Conoscenze:
Fondamenti del ragionamento logico matematico.
Teoria degli insiemi e metodi di dimostrazione.
Calcolo integrale e differenziale per funzioni reali di una variabile reale.
Modelli differenziali elementari.
Competenze:
Capacità di seguire ed elaborare una dimostrazione matematica.
Abitudine al rigore nella discussione e verifica delle ipotesi, quale attitudine fondamentale per un corretto
utilizzo di risultati teorici, di modelli e di metodi di calcolo.
Comprendere significati geometrici, fisici e numerici dei concetti fondamentali dell'analisi matematica.
Prerequisiti
Elementi di algebra, geometria, geometria analitica, trigonometria appresi nella scuola secondaria
Metodi Didattici
Lezioni (in aula), in assenza di rigida separazione tra teoria e pratica.
La discussione di problemi/esercizi assegnati e di eventuali approfondimenti suggeriti è parte integrante del corso.
Altre Informazioni
Durata del corso: 14 settimane nominali, dal 18 Settembre al 22 Dicembre 2017 (festività: 1 Nov. e 8 Dic. 2017)
12 CFU: 300 ore totali
108 ore (lezioni ed esercitazioni)
5 ore (2 verifiche in itinere)
187 ore (studio individuale)
Modalità di verifica apprendimento
Due prove scritte in itinere, con eventuale ammissione diretta alla prova orale.
Prove d'esame: prova scritta e – se ammessi – successiva prova orale, a stretto giro.
Gli appelli sono distinti tra loro: salvo diversa indicazione da parte dei docenti, la prova orale non può essere procrastinata ad altri appelli.
Per il colloquio ccorre prevedere di discutere l'elaborato.
Programma del corso
Il programma esteso che segue è aderente al programma previsto; in ogni caso, il programma dettagliato definitivo si desume dal registro delle lezioni (cfr. piattaforma Moodle).
Analisi Matematica I (AA 2017/18)
i) Richiami, preliminari, funzioni
Insiemi, operazioni sugli insiemi e simboli logici.
Insiemi numerici, massimi e minimi, estremi. Proprietà di completezza dei numeri reali e sue conseguenze.
Funzioni: iniettività e suriettività; funzioni composte e inverse.
Funzioni reali di variabile reale: funzioni elementari, monotonia e inverse delle funzioni elementari.
ii) Successioni, limiti, continuità
Limiti e continuità: limiti di successioni e di funzioni; continuità. Teoremi sui limiti: unicità del limite, permanenza del segno e limitatezza locale, teoremi di confronto. Limiti di funzioni monotone. Algebra dei limiti. Forme indeterminate. Confronto di funzioni. Simboli di Landau. Infiniti e infinitesimi. Ordine di infinito e di infinitesimo, parte principale (rispetto a un dato campione). Asintoti.
Il numero e. Limiti notevoli trigonometrici ed esponenziali. Funzioni continue su un intervallo: esistenza degli zeri e dei massimi e minimi.
iii) Derivate, sviluppi asintotici
Derivate: significato geometrico e fisico. Regole di derivazione. Tabella delle derivate fondamentali.
Derivate e continuità. Punti di non derivabilità, punti di estremo e punti critici. Teorema di Fermat. Funzioni derivabili su intervalli e teoremi fondamentali del calcolo differenziale (Rolle e Lagrange) e loro conseguenze. Regola di de L'Hopital.
Formula di Taylor e sviluppi di McLaurin fondamentali.
Uso degli sviluppi di Taylor nello studio del comportamento locale delle funzioni: confronto di funzioni, estremi, convessità. Applicazioni allo studio del grafico di funzioni.
iv) Integrali
Primitive e regole di calcolo delle primitive; primitive di funzioni razionali. Integrale indefinito.
Integrale di Riemann e sue proprietà: monotonia, additività e linearità dell'integrale; media integrale. Classi di funzioni integrabili.
Teorema fondamentale del calcolo integrale: relazione tra primitive e integrazione definita.
Integrali impropri: definizioni e criteri di convergenza.
v) Serie Numeriche
Somme parziali (o ridotte) n-sime, somma di una serie. Serie regolari e serie oscillanti. Serie geometrica. Condizione necessaria per la convergenza di una serie.
La serie armonica.
Serie a termini non negativi; criterio del confronto e del confronto asintotico; criterio del rapporto e della radice; serie armonica generalizzata.
Serie a termini di segno variabile, criterio di Leibniz. Convergenza assoluta di una serie.
v) Modelli differenziali
Introduzione ai modelli differenziali: caduta dei gravi, crescita e decadimento; il modello di Verhulst (equazione logistica).
Equazioni Differenziali Ordinarie (EDO): il problema di Cauchy.
Equazioni differenziali lineari del primo ordine.
EDO del primo ordine non lineari, EDO a variabili separabili.
Equazioni differenziali lineari del secondo ordine a coefficienti costanti.