Introduzione al CdV tramite esempi, Metodi Indiretti, Teoria Semiclassica: il metodo Diretto nella classe delle funzioni Lipschitz. Metodo Diretto di Tonelli: semicontinuità, esistenza e regolarità. Spazi di Sobolev del primo ordine.
{Dac08} B. Dacorogna,
Direct methods in the calculus of variations.
Second edition. Applied Mathematical Sciences, 78. Springer, New York, 2008. xii+619 pp.
{EvaGar92} L.C. Evans, R. Gariepy, Measure theory and fine properties of functions. Studies in Advanced Mathematics. CRC Press, Boca Raton, FL, 1992. viii+268 pp.
{GiaHil96} M. Giaquinta, S. Hildebrandt, Calculus of variations. I. The Lagrangian formalism.
Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences],
310. Springer-Verlag, Berlin, 1996. xxx+474 pp.
{Giu03} E. Giusti, Direct methods in the calculus of variations. World Scientific Publishing Co., Inc., River Edge, NJ, 2003. viii+403 pp.
{Leo09} G. Leoni, A first course in Sobolev spaces.
Graduate Studies in Mathematics, 105. American Mathematical Society, Providence, RI, 2009. xvi+607 pp.
Obiettivi Formativi
Conoscenza in dettaglio del metodo diretto del CdV attraverso l'analisi approfondita di alcuni casi modello. Saranno quindi trattate varie tematiche necessarie allo studio di problemi di rilassamento, semicontinuità e regolarità. In particolare, per fare questo si fornirà allo studente anche una conoscenza approfondita della teoria degli spazi di Sobolev del primo ordine.
Al termine del corso lo studente avrà la competenza di impostare e discutere la soluzione di problemi variazionali utilizzando il metodo diretto. Avrà inoltre una solida base per proseguire lo studio di questioni di regolarità per soluzioni di PDE ellittiche.
Prerequisiti
Teoria della misura di Lebesgue, spazi L^p, spazi di Hilbert e di Banach, teorema di compattezza di Ascoli-Arzela', teorema di Hahn-Banach, topologie deboli.
Metodi Didattici
Lezioni frontali in aula: esposizione critica della teoria in programma, con interazione diretta docente-studente per facilitare e assicurare la piena comprensione della materia.
Piattaforma Moodle: sviluppo dell’interazione online docente-studente, diffusione di dispense integrative.
Altre Informazioni
Frequenza alle lezioni non obbligatoria.
Ricevimento studenti da concordare con gli studenti
Modalità di verifica apprendimento
Esame orale su un argomento da concordare con il Docente. L'argomento puo' essere scelto o tra quelli presentati durante il corso o tra gli approfondimenti segnalati.
L'effettiva comprensione delle idee del Metodo Diretto e della teoria degli spazi di Sobolev e la capacità di ragionamento critico saranno indagate attraverso domande su risultati svolti durante il corso che sono legati all'argomento scelto e mediante l'analisi di problemi modello.
Verranno valutate con particolare attenzione sia la correttezza dei procedimenti seguiti, sia l'originalità dei metodi adottati che la loro efficacia.
Programma del corso
1. Il Calcolo delle Variazioni: introduzione e motivazioni tramite esempi.
2. Richiami di analisi reale: funzione massimale, stima debole, teorema massimale di Hardy-Littlewood, punti di Lebesgue di funzioni sommabili, convoluzioni, Lemma fondamentale
del Calcolo delle Variazioni (vari enunciati).
Lemma di Du Bois-Raymond
3.Teoria semi-classica ovvero il Metodo diretto del CdV nello spazio delle funzioni Lipschitziane (vedi {Giu03}): Teorema di Rademacher, Lemma di Mac Shane, super- e sub-soluzioni, Principi di Massimo, la condizione di pendenza limitata, barriere.
4. Il Metodo Diretto del Calcolo delle Variazioni (vedi {Dac08}, {Giu03}).
(a) Motivazioni. Teorema di Weierstrass: semicontinuità e compattezza, rilassamento, esempi.
(b) Formulazione debole di problemi variazionali. Spazi di Sobolev W^{1,p}, p\in[1,\infty] (vedi {EvaGar92}, {Giu03}, {Leo09}): nozione di derivata debole e sua unicità.
Esempi: discussione di esempi particolari, caso unidimensionale, confronto fra W^{1,\infty} e le funzioni Lipschitziane, teorema di Rademacher.
Teorema di Meyers-Serrin e sue conseguenze: regola della catena, troncamento, località della derivata debole, W^{1,p}(R^n)=
W^{1,p}_0( R^n), varie caratterizzazioni di W^{1,p}.
Risultati di immersione: teorema di Morrey, teorema di Sobolev-Gagliardo-Nirenberg, teorema di immersione per
W^{1,n}(R^n).
Risultati di estensione e approssimazione di funzioni W^{1,p} su aperti Lipschitziani mediante la composizione con mappe bi-Lipschitz.
Teorema di Rellich-Kondrakov, disuguaglianze di Poincarè e di Sobolev-Poincarè. Teoria delle tracce (cenni).
(c) Condizioni necessarie e sufficienti per la semicontinuità forte in L^1 nel caso scalare:
approssimazione di funzioni affini con funzioni Lipschitz che prendono due gradienti, disuguaglianza di Jensen, convessità e teorema di Serrin nel caso autonomo.
(d) Condizioni necessarie per la semicontinuità debole in W^{1,p} nel caso vettoriale: Lemma di Riemann-Lebesgue, disuguaglianza tipo Jensen per funzioni a gradiente perodico sul cubo unitario,
nozione di quasiconvessità, relazioni della quasiconvessità con la convessità, la policonvessità e la rango-uno convessità, esempi e controesempi.
(e) Condizioni sufficienti per la semicontinuità debole nel caso vettoriale:
Teorema di Morrey in W^{1,\infty}.
Teorema di Acerbi \& Fusco - Marcellini in W^{1,p}, p\in[1,\infty): biting Lemma ed equi-integrabilità, lemma di Mac Shane, lemma di decomposizione, approssimazione di funzioni W^{1,p} con funzioni Lipschitz.
(f) Soluzione del IX^o Problema di Hilbert:
Esistenza ed unicità di problemi di minimo mediante il Metodo Diretto, equazione di Euler-Lagrange in forma debole. Regolarità ellittica interna per minimi di Lagrangiane C^2: metodo dei rapporti incrementali, regolarità W_{loc}^{2,2} per minimi di funzionali C^1, teorema di Morrey, teorema di Schauder, teorema di De Giorgi.