Insegnamento mutuato da: B018755 - ANALISI SUPERIORE Laurea Magistrale in MATEMATICA Curriculum DIDATTICO
Lingua Insegnamento
Italiano
Contenuto del corso
Introduzione alla teoria matematica del controllo, con un'introduzione alla teoria dei semigruppi di operatori.
Verra' trattata una scelta di alcuni temi classici ma di rilievo attuale, quali
-- controllabilita', problemi di controllo ottimale e in particolare di tempo minimo (in contesto finito-dimensionale);
-- controllo lineare-quadratico ed equazioni di Riccati;
-- equazioni di evoluzione e semigruppi; proprieta' di stabilita'
- J. Macki, A. Strauss, Introduction to Optimal Control Theory, Springer-Verlag, New York, 1982
- J. Zabczyk, Mathematical Control Theory: An Introduction, Birkhauser Boston, 2008
- Per la teoria dei semigruppi si potra' fare riferimento ad ottimi materiali (on-line, liberi) ad opera di vari autori quali ad esempio Alessandra Lunardi, Igor Chueshov, Paolo Acquistapace.
- A. Pazy, Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations, Springer-Verlag, New York, 1983
- A. Bensoussan, G. Da Prato, M.C. Delfour, S.K. Mitter, Representation and control of infinite dimensional systems, Birkhauser, Boston 2007.
Obiettivi Formativi
Obiettivi di conoscenza: acquisizione della conoscenza dei principali temi e problemi della teoria classica del controllo per sistemi descritti da equazioni differenziali ordinarie e a derivate parziali
Obiettivi di competenza: comprensione del linguaggio e dei metodi per lo studio di problemi di controllo
Capacita' acquisite al termine del corso: capacita' di comprendere e/o formalizzare semplici problemi di controllo in dimensione finita e infinita, di proporre metodi pertinenti ai fini della loro risoluzione, di interpretarne gli esiti. Capacita' di accedere alla letteratura scientifica per approfondimenti.
Prerequisiti
Fondamenti della teoria delle Equazioni Differenziali Ordinarie; elementi introduttivi alle Equazioni a Derivate Parziali; spazi L^p.
Elementi di Analisi funzionale: spazi di Sobolev, spazi di Hilbert e operatori lineari.
Precedenze (vincolanti): Analisi Matematica III.
Suggeriti: Analisi Funzionale, Istituzioni di Analisi Superiore
Metodi Didattici
Lezioni e discussione di esercizi/problemi in aula, attivita' seminariale su materiale fornito dai docenti.
Altre Informazioni
9 CFU (225 ore di impegno complessivo, di cui 72 ore in aula)
Modalità di verifica apprendimento
Una lezione di 45 minuti su un tema del corso o strettamente attinente, assegnato per tempo e concordato con le/gli allieve/i, scelto da una lista che sara' resa esplicita all'inizio del corso.
Una breve prova per la conferma dell'acquisizione del linguaggio e dei metodi di risoluzione di semplici problemi, con poche domande scritte o orali.
Programma del corso
Il corso intende fornire un'introduzione alla teoria del controllo di sistemi descritti da Equazioni Differenziali Ordinarie e da Equazioni a Derivate Parziali (EDP). Verra' proposta una scelta di temi classici ma di rilievo attuale, quali
i) controllabilita', controllo ottimale e piu' specificamente problemi di tempo minimo (in contesto finito-dimensionale);
ii) controllo lineare-quadratico ed equazioni di Riccati per sistemi finito- e infinito-dimensionali. Teoria dei semigruppi di operatori. EDP di evoluzione e semigruppi; comportamento asintotico, stabilita'. Controllo ottimale di EDP lineari.
Parte i) (32 ore): Formulazione matematica dei problemi di controllo (astratta ed in termini di Equazioni Differenziali Ordinarie), nozioni di controllabilità e problemi di controllo ottimo. Esistenza e sintesi di un controllo ottimale. Controllabilità: Studio del caso lineare, del caso non-lineare autonomo e di alcuni casi particolari.
Problemi di controllo ottimo di tipo “Tempo minimo”: studio di problemi di controllo ottimo con equazione di stato lineare, in cui si deve raggiungere il bersaglio nel minor tempo possibile. Teoremi di esistenza generali. Condizioni necessarie: Caratterizzazione dei controlli ottimali, condizioni di ottimalità e principio del massimo di Pontryagin. Programmazione dinamica.
Parte ii) (40 ore): Il problema del regolatore quadratico: motivazioni ed esempi illustrativi in dimensione finita e infinita, i molti ambiti di applicazione (ingegneria, economia, medicina, scienze sociali, ecc.).
Controllo lineare-quadratico ed equazioni di Riccati in dimensione finita, sintesi del controllo ottimale. Introduzione alla teoria dei semigruppi di operatori: semigruppi fortemente continui, generatori di semigruppi. Teoremi di generazione: Teorema di Hille-Yosida, Teorema di Lumer-Phillips. Semigruppi analitici. Gruppi di operatori.
Equazioni lineari: definizioni di soluzione per il problema omogeneo e non omogeneo.
*[Stabilita' uniforme e stabilita' forte, tassi di decadimento.]
Il ruolo dei semigruppi nell'analisi di EDP di tipo parabolico, iperbolico, e di sistemi di EDP accoppiate; esempi illustrativi. Controllo lineare-quadratico ed equazioni di Riccati con operatori non limitati (cenni).