Teoria di Galois. Estensioni di Galois finite. Estensioni ciclotomiche. Risolubilità per radicali. Gruppi risolubili. Estensioni di Galois infinite. Gruppi di Galois.
Algebra commutativa. Radicali. Localizzazioni. Dipendenza intera. Moduli finitamente generati. Anelli noetheriani e artiniani. Decomposizione di ideali. Domini di Dedekind.
Jacobson: Basic Algebra I. Atiyah-MacDonaldson: Commutative algebra.
Isaacs: Algebra
Dispense del corso.
Obiettivi Formativi
Scopo del corso è di introdurre gli studenti alle nozioni principali della teoria di Galois e dell'algebra commutativa. Verranno utilizzati strumenti propri di altre aree della matematica (e.g. topologia) in modo da introdurre gli studenti ad un uso interdisciplinare delle loro conoscenze.
Lo studente dovrà, al termine del corso, essere in grado di utilizzare le nozioni apprese, nei vari ambiti in cui tali risultati trovano applicazioni (algebra, combinatoria, geometria algebrica).
Prerequisiti
Algebra I e II
Metodi Didattici
Lezioni frontali in aula.
Modalità di verifica apprendimento
Esame orale sul programma svolto. Lo studente dovrà mostrare la comprensione degli argomenti trattati a lezione, ed essere in grado di utilizzarli per discutere alcuni esempi.
Programma del corso
Estensioni di Galois finite. Teorema di Artin dell'elemento primitivo. Lemma di Dedekind. Campi ciclotomici. Teorema di Kummer. Gruppi risolubili e serie di composizione. Estensioni radicali. Semplicità del gruppo alterno. Polinomi non risolubili per radicali. Radicali in anelli (radicale nilpotente, radicale di Jacobson) Moduli f.g. . Anelli e moduli noetheriani ed artiniani. Decomposizione primaria. Localizzazioni. Anelli di Dedekind.