Insegnamento mutuato da: B020977 - CALCOLO DELLE VARIAZIONI E EQUAZIONI ALLE DERIVATE PARZIALI Laurea Magistrale in MATEMATICA Curriculum APPLICATIVO
Lingua Insegnamento
Italiano o Inglese (se presenti studenti non italiani)
Contenuto del corso
Funzioni armoniche: teoria classica. Problemi di Dirichlet e Neumann: esistenza unicità. Soluzioni di viscosità per equazioni ellittiche: teoremi di confronto unicità esistenza stabilità. Spazi di Sobolev, soluzioni deboli di equazioni ellittiche. Calcolo delle variazioni: metodi semi-classici e diretti. Applicazioni alle proprietà geometriche di soluzioni: quasi-convessità; stellarità; problemi sovra-determinati: simmetria; curvatura di superfici di livello; punti critici di soluzioni.
R. Magnanini, Lecture Notes of the Course of
Calculus of Variations and Partial Differential Equations, (2019). Dispense in Inglese del docente
Obiettivi Formativi
Il Corso si prefigge di fornire le conoscenze e capacità tecniche di base ed avanzate necessarie per la comprensione e lo studio di problemi riguardanti le equazioni alle derivate parziali ellittiche e paraboliche, lineari e non lineari, ed i problemi di calcolo delle variazioni ad esse collegate. Alla fine del corso lo studente avrà acquisito gran parte delle moderne tecniche nello studio delle EDP e del CV. Il Corso intende inoltre fornire le capacità critiche necessarie per applicare le conoscenze acquisite alla modellizzazione e risoluzione di alcuni problemi che si presentano in vari ambiti di studio, anche non prettamente matematici. Particolare attenzione viene posta a sviluppare negli studenti le abilità comunicative necessarie per il lavoro di gruppo. Il Corso copre argomenti e fornisce capacità di apprendimento che sono necessari, o fortemente consigliati, per intraprendere un percorso di ricerca, sia teorico che applicato, nel campo delle equazioni alle derivate parziali.
Prerequisiti
CORSI DI BASE di Analisi Matematica, Geometria, Analisi Reale e Complessa.
Metodi Didattici
ezioni frontali: esposizione critica della teoria in programma, con interazione diretta docente-studente per facilitare e assicurare la piena comprensione della materia.
Esercitazioni: guida per gli studenti alla risoluzione di una scelta di problemi con interesse specifico allo studio delle proprietà geometriche delle EDP. Le esercitazioni sono condotte in modo da aiutare gli studenti ad applicare e comunicare le conoscenze acquisite, migliorarne l'indipendenza di giudizio e a svilupparne la capacità di lavoro autonomo.
Piattaforma Moodle: sviluppo dell’interazione online docente-studente, diffusione di dispense integrative, di raccolte di esercizi e riferimenti bibliografici.
Nota: I testi e le dispense proposti o consigliati contengono materiale supplementare per approfondimento personale e per ulteriore studio.
Altre Informazioni
Anche se, per motivi amministrativi, il corso fa parte dell'elenco dei corsi consigliati per l'Indirizzo Applicativo, il corso è un ottima scelta anche per gli studenti dell'Indirizzo Generale, specialmente per quelli interessati ad intraprendere un percorso di ricerca.
Modalità di verifica apprendimento
Prova finale orale: Vengono poste alcune domande. La prova è strutturata per verificare in primo luogo la conoscenza e il grado di comprensione della teoria svolta nel corso. Vengono inoltre valutate con particolare attenzione sia la capacità di comunicare la materia in modo critico, sia l'abilità nell'uso delle conoscenze e tecniche acquisite nella risoluzione di alcuni problemi proposti.
Programma del corso
Introduzione ai concetti di soluzione classica, di viscosità e debole. Funzioni armoniche: proprietà della media; regolarità; principio di massimo; lemma di Hopf; disuguaglianza di Harnack; il teorema di Liouville; analiticità; compattezza di famiglie di funzioni armoniche; funzioni armonich nel piano. Problemi al contorno: l'equazione di Poisson nello spazio euclideo; teoremi di unicità per i problemi di Dirichlet, Neumann e Robin; funzione di Green; esistenza con metodo di Perron; metodi in domini illimitati. Soluzioni di viscosità: motivazioni; definizioni equivalenti; principi di confronto per operatori del primo e del secondo ordine; lemma di Ishii; operatori completamente non lineari uniformemente ellittici; esistenza con il metodo di Perron-Ishii; le soluzioni di viscosità passano al limite. Introduzione agli spazi di Sobolev: derivate deboli; definizione degli spazi di Sobolev; approssimazione ed estensione; disuguaglianze di Sobolev; immersioni; compattezza; disuguaglianze di Poincaré. Metodi nel Calcolo delle Varizioni: il principio di Dirichlet; la condizione di pendenza limitata; esistenza di supefici minime non-parametriche; il metodo diretto. Proprietà geometriche delle soluzioni di equazioni ellittiche: le funzioni di Green, di torsione e di capacità; quasi-convessità: il metodo di Korevaar ed il metodo dell'inviluppo quasi-convesso; stellarità; simmetria in problemi sovra-deteminati: problemi di ottimizzazione di forma, il metodo di riflessione di Alexandrov ed il metodo dei piani mobili di Serrin, simmetria via identità integrali, identità di Pohozaev; stabilità della simmetria sferica; curvatura delle superfici di livello; punti critici delle soluzioni, gli hot spot.