Giuseppe Modica e Laura Poggiolini, Note di Calcolo delle Probabilità, seconda edizione, Pitagora Editrice
Obiettivi Formativi
Il Corso ha l'obiettivo di fornire agli studenti:
CONOSCENZE sugli elementi di analisi matematica per funzioni di più variabili: derivate parziali, differenziale, gradiente, integrali multipli, misura di Lebesgue, aree e volumi. Problemi di conteggio, probabilità elementare, variabili aleatorie discrete e assolutamente continue.
COMPETENZE
necessari per la costruzione e lo studio di modelli matematici che utilizzano funzioni di più variabili.
Prerequisiti
Analisi Matematica I
Metodi Didattici
Lezione frontale
Modalità di verifica apprendimento
Prova scritta di Analisi Matematica II, prova scritta di probabilità; prova orale
Programma del corso
Funzioni vettoriali di una variabile reale: limiti, continuità, derivabilità. Esempi
Curve regolari, retta e versore tangente. Curve regolari a tratti. Esempi. Integrale di funzione vettoriale. Grafici di funzione come curve. Coordimate polari e curve in forma polare. Lunghezza di un arco di curva, di un grafico, di una curva in forma polare. Esempi.
Curve equivalenti, cambi di orientazione e invarianza della lunghezza.
Ascissa curvilinea. Integrali di prima specie.
Funzioni di più variabili reali. Dominio e insiemi di livello. Esempi. Elementi di topologia; intorni sferici, palle, punti interni, punti esterni e di frontiera. Chiusura. Unione/intersezione di aperti/chiusi.(no dim, controesempi). Limite di successione, limite di funzione. Lemma di collegamento. Caratterizzazione dei chiusi mediante i limiti di successione. Proprietà elementari dei limiti. Continuità. Proprietà elementari e teorema di permanenza del segno. Esempio di funzione non continua.
Insiemi limitati. Teorema di Weierstrass (no dim). Insiemi connessi per archi. Teorema degli zeri (no dim). Esempio.
Derivate parziali. Gradiente. Iperpiano affine. (Iper)piano tangente al grafico di una funzione. Esistenza di funzioni derivabili ma non continue. Differenziabilità e esistenza di una approssimazione lineare.
Continuità delle funzioni differenziabili. Condizione sufficiente per la derivabilità. Derivate direzionali, formula del gradiente. Funzioni composte. (Iper)piano tangente e curve tracciate sul grafico. Gradiente e curve di livello. Esempi ed esercizi. Derivate seconde. Esempio.
Derivate parziali. Funzioni C². Teorema di Schwarz (no dim). Sviluppo di Taylor del secondo ordine con resto di Peano e con resto di Lagrange. Estremi assoluti, estremi relativi, estremi liberi. Teorema di Fermat. Forme quadratiche. Studio del caso n=2
Matrice hessiana e natura dei punti critici di una funzione C². Ricerca degli estremi assoluti. Esercizi
Esercizi. Coordinate cilindriche e coordinate sferiche. n-intervalli, volume, misura esterna e proprietà elementari.
Insiemi misurabili. Proprietà. σ-algebre. Lafamiglia degli insiemi Lebesgue-misurabili è una σ-algebra. σ-additività. Continuità della misura. Funzioni misurabili e condizioni equivalenti.
Funzioni semplici. Lemma di campionamento. Integrale di Lebesgue. Funzioni integrabili e funzioni sommabili. Proprietà elementari. Lemma di Beppo-Levi. Nozione di quasi ovunque. Sottografico, fette di un insieme e teoremi di Fubini.
Confronto tra integrale di Lebsgue e integrale di Riemann per funzioni limitate non negative e Riemann-integrabili su un intervallo.
Teorema di convergenza dominata di Lebesgue (no dim).
Esercizi. Cambio di variabile negli integrali doppi e tripli (no dim). Esercizi.
Coefficienti binomiali. Coefficienti binomiali generalizzati. Problemi di conteggio: sottoinsiemi di un insieme finito; multiinsiemi su un insieme finito, liste, permutazioni, funzioni iniettive, monotone crescenti, monotone strettamente cresenti, suriettive. Estrazioni ordinate con e senza reimmissione. Probabilità: impostazione classica, soggettiva, frequentista e assiomatica. σ-algebra. σ-algebra generata da una famiglia di sottoinsiemi. σ-algebra di Borel in R^n. Misura. Misura di probabilità. Proprietà elementari. Partizioni misurabili. Legge delle probabilità totali. Continuità della misura.
Esempi di probabilità su insiemi finiti. Probabilità uniforme su un intervallo.
Probabilità condizionata. Formula della probabilità composta. Formula di Bayes. Legge delle probabilità totali. Probabilità dell'unione di tre o più eventi. Esercizi.
Variabili aleatorie. Definizione e legge di una v.a.
Proprietà delle leggi di v.a. Distribuzione di v.a. Valore atteso. Definizione generale, caso discreto, caso A.C. Valore atteso e distribuzione. Formula di composizione.
Varianza e proprietà elementari.
Disuguaglianza di Markov. Disuguaglianza di Chebychev.
Esempi di distribuzioni discrete: distribuzione di Bernoulli, distribuzione binomiale, distribuzione ipergeometrica (no dim), distribuzione di Poisson e proprietà degli eventi rari, distribuzione geometrica e distribuzione geometrica modificata.
Mancanza di memoria per la distribuzione geometrica modificata. Densità del quadrato e di una funzione affine di una v.a. A.C.
Esempi di distribuzioni A.C.: distribuzione uniforme su un intervallo, distribuzione esponenziale (con mancanza di memoria), distribuzione gaussiana.
Correzione esercizi della prima prova parziale
V.a. vettoriali. Caso discreto: densità marginali e densità congiunta. Caso generico: distribuzione congiunta, distribuzioni marginali, legge congiunta. Formula di composizione. Distribuzione della somma. Distribuzioni a.c. . Densità congiunta e densità marginali.
Covarianza.
Indipendenza stocastica. Famiglie di eventi indipendenti. V.a. indipendenti. Valore atteso del prodotto di v.a. indipendenti.
Caso discreto: densità della somma. Caso a.c. densità della somma.