Prospettive su Equazioni a Derivate Parziali (EDP) lineari:
i) approccio geometrico ai problemi al contorno per EDP ellittiche e paraboliche (studio di proprietà geometriche delle soluzioni, quali convessità/stellarità delle linee di livello);
ii) approccio analitico-funzionale ai problemi al contorno e ai valori iniziali per EDP di evoluzione (teoria dei semigruppi di operatori, con possibili applicazioni allo studio di problemi di controllo).
Alcuni riferimenti bibliografici (ordine alfabetico):
i) EDP e proprietà geometriche:
- H.J. Brascamp, E.H. Lieb, On extensions of the Brunn-Minkowski and Prekopa-Leindler theorems, including inequalities for log concave functions, and with an application to the diffusion equation, J. Functional Analysis 22 (1976), no. 4, 366-389.
- A. Colesanti, Brunn-Minkowski inequalities for variational functionals and related problems, Adv. Math. 194 (2005), no. 1, 105-140.
- L.C. Evans, Partial differential equations, Graduate Studies in Mathematics, 19, American Mathematical Society, Providence, RI, 1998.
- B. Kawohl, Rearrangements and convexity of level sets in PDE, Lecture Notes in Mathematics, 1150, Springer-Verlag, Berlin, 1985.
- D. Gilbarg, N. Trudinger, Elliptic partial differential equations of second order, ristampa dell'edizione del 1998, Classics in Mathematics, Springer-Verlag, Berlin, 2001.
ii) Teoria dei semigruppi, teoria matematica del controllo:
- P. Acquistapace, Appunti di teoria dei controlli, http://people.dm.unipi.it/acquistp/teocon.pdf
- F. Alabau-Boussouira, P. Cannarsa, Control of non-linear partial differential equations, Mathematics of complexity and dynamical systems. Vols. 1-3, 102-125, Springer, New York, 2012.
- A. Bensoussan, G. Da Prato, M. Delfour, S. Mitter, Representation and Control of Infinite Dimensional Systems, 2nd edition, Birkhauser, Boston, 2007.
- A. Lunardi, Introduzione alla teoria dei semigruppi, http://people.dmi.unipr.it/alessandra.lunardi/
- R. Nagel, K.-J. Engel, One-parameter semigroups for linear evolution equations, Springer, New York, 2000.
- A. Pazy, Semigroups of linear operators and applications to partial differential equations, Springer, New York, 1983.
- J. Zabczyk, Mathematical control theory. An introduction, Birkhauser, Boston 2008.
Obiettivi Formativi
Obiettivi di conoscenza: acquisizione della conoscenza di temi e questioni principali affrontate nel corso (cfr. "Programma esteso")
Obiettivi di competenza: comprensione del linguaggio e di alcuni metodi geometrici o analitico-funzionali per lo studio di equazioni a derivate parziali lineari
Capacità acquisite al termine del corso: capacità di analizzare le proprietà qualitative delle soluzioni di problemi al contorno per equazioni ellittiche o paraboliche, di comprendere e/o formalizzare semplici problemi inerenti a equazioni di evoluzione, proporre metodi pertinenti ai fini della loro risoluzione, interpretarne gli esiti.
Capacità di accedere alla letteratura scientifica per approfondimenti.
Prerequisiti
Fondamenti della teoria delle equazioni differenziali ordinarie. Elementi introduttivi alle equazioni a derivate parziali. Elementi di base dell'analisi funzionale.
Metodi Didattici
Lezioni e discussione di esercizi/problemi in aula. Attività seminariale su materiale fornito dai docenti.
Altre Informazioni
Crediti formativi: 9 CFU (225 ore di impegno complessivo, di cui 72 ore in aula)
Modalità di verifica apprendimento
Prova orale, di cui una parte prevalente avrà forma seminariale e verterà su un tema concordato da ciascuna/o studente con la docente e il docente del corso.
Programma del corso
PROPRIETÀ GEOMETRICHE di EDP. Richiami su alcune nozioni di base sui problemi al contorno per EDP ellittiche. Problemi archetipici: problema del primo autovalore dell'operatore di Laplace, con condizioni di Dirichlet; problema della torsione, problema della capacità. Metodi per determinare proprietà geometriche delle soluzioni, a partire da informazioni sulla geometria del dominio. In particolare: log-concavità della prima autofunzione; p-convessità della funzione di torsione; quasi concavità del potenziale capacitario, in domini convessi.
TEORIA dei SEMIGRUPPI di OPERATORI. Introduzione. Semigruppi fortemente continui, il generatore del semigruppo. Teoremi di generazione (Hille-Yosida, Lumer-Phillips, Stone). Riformulazione di problemi al contorno e ai valori iniziali per equazioni di evoluzione come problemi di Cauchy in spazi di dimensione infinita. Soluzioni strette, forti, deboli, mild. Illustrazione dell'utilizzo dei teoremi suddetti. Proprietà asintotiche del semigruppo. Operatori settoriali, semigruppi analitici.
TEORIA MATEMATICA del CONTROLLO (cenni). Sistemi di controllo lineari. Controllabilità, stabilità, controllo ottimale: definizioni, qualche risultato di rilievo (in dimensione finita). Il contesto infinito-dimensionale: l'interconnessione tra i metodi analitico-funzionali e metodi precipuamente di EDP, il ruolo di opportune disuguaglianze (dirette ed inverse).