B012949 - ISTITUZIONI DI GEOMETRIA SUPERIORE

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Varietà differenziabili. Derivazioni e spazio tangente ad una varietà differenziabile. Applicazioni, immersioni locali, immersioni e sottovarietà, sommersioni. Campi di vettori. Flussi locali e campi vettoriali. La parentesi di Poisson e la derivata di Lie. Fibrati vettoriali. Fibrati a fibra una varietà differenziabile. Varietà riemanniane. Forme differenziali. Gruppi di Coomologia di deRham. Connessioni. Curvatura. Connessioni nel fibrato tangente. La connessione di Levi-Civita.

G. Gentili, F. Podestà, E. Vesentini, LEZIONI DI GEOMETRIA DIFFERENZIALE, Bollati Boringhieri, Torino, 1995.
S. Helgason, DIFFERENTIAL GEOMETRY, LIE GROUPS AND SYMMETRIC SPACES, Academic Press, 1978.
W. M. Boothby, AN INTRODUCTION TO DIFFERENTIABLE MANIFOLDS AND RIEMANNIAN GEOMETRY, Academic Press, 1975.

Il corso ha l’obiettivo di fornire conoscenze e capacità di comprensione fondamentali in Geometria Differenziale delle Varietà e dei Fibrati e in Geometria Riemanniana. Il corso intende anche sviluppare negli studenti le capacità tecniche avanzate e le capacità critiche necessarie per applicare le conoscenze acquisite alla modellizzazione e risoluzione di problemi matematici in Geometria Differenziale e in vari altri ambiti della matematica e delle sue applicazioni. Particolare attenzione viene posta a sviluppare negli studenti le abilità comunicative richieste per il lavoro di squadra. Il corso copre argomenti, introduce problematiche e fornisce capacità di apprendimento che sono necessari, o fortemente consigliati, nel proseguimento degli studi per il conseguimento della laurea magistrale in matematica, o in qualunque ambito scientifico, e per l’avviamento alla ricerca in matematica.

Sono prerequisiti la conoscenza di argomenti di base in analisi in una e più variabili reali, di algebra lineare, di topolgia generale (compattezza, connessione, continuità), di geometria differenziale delle superficie dello spazio a tre dimensioni.

Lezioni frontali: esposizione critica della teoria in programma, con interazione diretta docente-studente per facilitare e assicurare la piena comprensione della materia.

Esercitazioni: guida per gli studenti alla modellizzazione e risoluzione di una vasta scelta di problemi in Geometria Differenziale delle Varietà e dei Fibrati e Geometria Riemanniana. Le esercitazioni sono condotte in modo da:

-- aiutare gli studenti a sviluppare le capacità di applicare e comunicare le conoscenze acquisite;
-- migliorare la loro indipendenza di giudizio.

Piattaforma Moodle: sviluppo dell’interazione online docente-studente; diffusione di dispense integrative, di esercizi e di testi delle prove scritte degli anni passati.

Nota: i testi e le dispense proposti o consigliati contengono materiale di approfondimento importante per il prosieguo degli studi magistrali e per l’avviamento alla ricerca.

Prove scritte intermedie e finali: si propone una scelta di problemi. Le prove sono strutturate per valutare la capacità degli studenti di applicare le conoscenze teoriche e tecniche da loro acquisite alla modellizzazione e alla soluzione di problemi in argomenti avanzati. Si valutano con particolare attenzione sia la correttezza dei procedimenti seguiti, sia l'originalità dei metodi adottati e la loro efficacia.

Prova orale: si pongono alcune domande. La prova è strutturata per verificare la conoscenza e il grado di comprensione della teoria svolta nel corso. Si valutano con particolare attenzione sia la capacità di comunicare la materia in modo critico, sia l’uso di un linguaggio matematico appropriato.

Ogni studente può scegliere di non svolgere le prove scritte, ma di sottoporsi all’intera valutazione prevista nel corso sostenendo una prova orale allargata ai temi delle prove scritte.

Atlanti, atlanti massimali, strutture differenziabili. Varietà differenziabili. La sfera di Riemann. Germi di funzioni. Derivazioni. Spazio tangente ad una varietà differenziabile. Applicazioni, immersioni locali, immersioni e sottovarietà, sommersioni. Campi di vettori e fibrato tangente. Flussi locali e campi vettoriali. La parentesi di Poisson e la derivata di Lie. Fibrati vettoriali. Equivalenza debole e forte tra fibrati e teorema di struttura. Fibrati a fibra una varietà differenziabile e gruppo di struttura ungeuppo di Lie. Operazioni sui fibrati vettoriali, con particolare riferimento al prodotto tensore di fibrati. Metriche lungo le fibre di un fibrato. Varietà riemanniane. Forme differenziali su una varietà differenziabile. Costruzione dei gruppi di Coomologia di deRham di una varietà differenziabile e loro significato. Differenziazioni covarianti e connessioni lungo le fibre di un fibrato vettoriale. Curvatura di una connessione. Connessioni nel fibrato tangente. La connessione di Levi-Civita di una una varietà riemanniana. Trasporto parallelo e geodetiche.